2024年武漢紡織大學(xué)非全日制研究生招生考試《高等代數(shù)》考試大綱

　　考試內(nèi)容和考試要求

　　一、多項式

　　【考試內(nèi)容】

　　數(shù)域；一元多項式；整除；最大公因式(互素)；不可約多項式，因式分解；因式；多項式函數(shù)，根與一次因式的關(guān)系；復(fù)系數(shù)、實系數(shù)多項式的因式分解；有理系數(shù)多項式的可約性及其有理根，有根與可約的關(guān)系。

　　【考試要求】

　　1. 理解數(shù)域、多項式的相關(guān)的概念，掌握多項式運算、帶余除法、輾轉(zhuǎn)相除法。

　　2. 理解整除、互素和余數(shù)定理，會運用它們進行證明。

　　3. 掌握有理系數(shù)多項式的性質(zhì)，會求多項式的有理。

　　二、線性方程組

　　【考試內(nèi)容】

　　消元法，線性相關(guān)性，向量組的秩，矩陣的秩，線性方程組有解判別定理，線性方程組解的結(jié)構(gòu)，n 維向量空間的定義及性質(zhì)。

　　【考試要求】

　　1. 掌握向量組的秩與矩陣秩的計算方法和性質(zhì)，并會運用它們進行計算和證明。

　　2. 掌握線性方程組解的結(jié)構(gòu)和線性方程組有解判別定理，能夠求解線性方程組。

　　3. 掌握線性相關(guān)的性質(zhì)和結(jié)論，并會運用它們進行計算和證明。

　　4. 理解 n 維向量空間的定義及性質(zhì)。

　　三、矩陣

　　【考試內(nèi)容】

　　矩陣的定義與運算；矩陣乘積的行列式與秩；矩陣的逆；矩陣分塊；初等矩陣；分塊矩陣及其應(yīng)用。

　　【考試要求】

　　1. 掌握矩陣的基本運算。

　　2. 掌握可逆矩陣的定義、性質(zhì)和計算方法，并會運用它們進行計算和證明。

　　3. 掌握伴隨矩陣的性質(zhì)及其有關(guān)結(jié)論，會運用它們進行證明。

　　4. 掌握矩陣乘積的秩的性質(zhì)及其有關(guān)結(jié)論，并會運用它們進行計算和證明。

　　5. 理解初等矩陣的概念、性質(zhì)和有關(guān)結(jié)論。

　　6. 理解分塊矩陣，并會運用分塊矩陣進行計算和證明。

　　四、行列式

　　【考試內(nèi)容】

　　排列；n 級行列式定義，n 級行列式的性質(zhì)，n 級行列式的各種計算方法(含展開)，拉普拉斯(Laplace)定理，行列式的乘法規(guī)則。

　　【考試要求】

　　1.掌握 n 級行列式定義、性質(zhì)和計算方法，并會運用它們進行計算和證明。

　　五、線性空間

　　【考試內(nèi)容】

　　線性空間的定義及基本性質(zhì)，基、維數(shù)及坐標(biāo)的定義和基本性質(zhì)，基變換與坐標(biāo)變換的關(guān)系，線性子空間的定義、性質(zhì)、基、維數(shù)，線性子空間的交與和的性質(zhì)、基和維數(shù)，維數(shù)公式，線性子空間的直和的定義及判定，線性空間的同構(gòu)。

　　【考試要求】

　　1. 掌握基變換與坐標(biāo)變換。

　　2. 掌握線性子空間定義、性質(zhì)和有關(guān)結(jié)論。

　　3. 掌握線性子空間的直和的定義及判定。

　　六、線性變換

　　【考試內(nèi)容】

　　線性變換的定義、性質(zhì)和運算，線性變換的矩陣表示和性質(zhì)，線性變換[方陣]的特征值理論，線性變換[矩陣] 的對角化，線性變換的值域、核及不變子空間的定義、性質(zhì)和線性空間的直和分解，線性變換[矩陣]的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形、極小多項式介紹。

　　【考試要求】

　　1. 掌握線性變換的矩陣表示和性質(zhì)、理論推導(dǎo)和線性變換在不同基下的關(guān)系。

　　2. 掌握矩陣和線性變換的特征值、特征向量的性質(zhì)和解法。

　　3. 掌握矩陣可以對角化的幾個充分或必要條件。

　　七、歐幾里得空間

　　【考試內(nèi)容】

　　歐幾里得空間的定義和基本性質(zhì)，度量矩陣的定義及性質(zhì)，施密特(Schimidt)正交化過程，正交矩陣和正交變換的定義及性質(zhì)，線性空間的正交分解，實對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形理論，最小二乘法。

　　【考試要求】

　　1. 掌握施密特正交化過程、標(biāo)準(zhǔn)正交基的計算。

　　2. 掌握正交矩陣和正交變換的定義及性質(zhì)。

　　3. 掌握對稱矩陣的有關(guān)性質(zhì)和結(jié)論，并會運用它們進行證明。

　　八、二次型

　　【考試內(nèi)容】

　　二次型的定義及矩陣表示，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形及化簡二次型，實系數(shù)二次型的規(guī)范形的唯一性，正定二次型和正定矩陣的定義、性質(zhì)及判定，矩陣的合同不變性質(zhì)。

　　【考試要求】

　　1. 掌握化簡二次型的方法，會將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形。

　　2. 掌握正定二次型和正定矩陣的定義、性質(zhì)及判定條件，并會運用它們進行計算和證明。