北京航空航天大學(xué)2024年非全日制研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)專業(yè)綜合課考試大綱

　　請考生注意：

　　1、數(shù)學(xué)專業(yè)綜合課試題含常微分方程、近世代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計三門課程的內(nèi)容， 考生可任選其中二門課程的試題解答，多選無效。

　　2、每門課試題滿分 75 分。

　　常微分方程考試大綱

　　一、基本內(nèi)容與要求

　　(一) 初等積分法

　　1、 熟練掌握變量可分離方程、可化為變量分離方程的類型、一階線性方程與常數(shù)變易法、

　　全微分方程與積分因子等的解法。掌握一階隱方程與參數(shù)表示。

　　2、 會應(yīng)用降階法解某些高階方程。

　　3、 會建立簡單的微分方程模型。(

　　(二) 線性方程和線性方程組

　　1、 掌握線性微分方程(組)的一般理論.

　　2、 掌握常系數(shù)線性微分方程(組)的解法.

　　3、 能應(yīng)用線性方程(組)解的結(jié)構(gòu)對方程的解做簡單定性分析.

　　4、 了解二階線性方程的冪級數(shù)解法和 Laplace 方法。

　　5、 會應(yīng)用二階常系數(shù)線性方程分析振動現(xiàn)象。

　　6、會求二階微分方程組的奇點及其類型

　　(三) 基本定理

　　1、掌握初值問題的存在、唯一性定理和解的延拓及解關(guān)于初值的連續(xù)、可微性定理

　　2、掌握解的存在、唯一性定理及證明。

　　近世代數(shù)考試大綱

　　一、基本內(nèi)容與要求

　　(一)基本概念

　　1、理解集合與映射的概念，掌握集合之間的運算，能夠在集合之間建立映射關(guān)系，并判斷兩個映射是否相同。

　　2、掌握代數(shù)運算與映射的關(guān)系，能夠建立有限集合之間的運算表，并判斷給定的運算是否滿足結(jié)合律、交換律以及兩種分配律。

　　3、掌握同態(tài)映射、同構(gòu)映射和自同構(gòu)的概念，理解同態(tài)與同態(tài)滿射(滿同態(tài))的關(guān)系， 并能判定映射是否是同態(tài)滿射(滿同態(tài))，掌握具有同態(tài)滿射(滿同態(tài))的集合之間的聯(lián)系。能夠判定給定的映射和運算是否是同構(gòu)關(guān)系，能建立兩個集合之間的同構(gòu)映射。

　　4、理解關(guān)系和等價關(guān)系的概念，掌握等價關(guān)系和分類之間的轉(zhuǎn)換定理，熟練判定給定的關(guān)系是否是等價關(guān)系。并熟悉剩余類的基本特性，能夠建立整數(shù)間給定模的剩余類。

　　(二) 群論

　　1、掌握群的等價定義和例子，理解左、右單位元，左、右逆元的意義，掌握有限群、無限群、群的階和交換群的概念。充分掌握單位元、逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定義， 能熟練掌握群與階的關(guān)系，會計算群元素的階。

　　2、理解群同構(gòu)、同態(tài)的定義，掌握一個群的自同構(gòu)的集合也成群的證明，掌握群同態(tài)的有關(guān)性質(zhì)，并能證明在同態(tài)滿射下，單位元的像也是單位元，元 a 的逆元的像是 a 的像的逆元。

　　3、掌握循環(huán)群的定義和由生成元決定循環(huán)群的性質(zhì)與特點，熟練掌握剩余類加群，并能證明任一循環(huán)群可以與整數(shù)加群或模為 n 的剩余類加群同構(gòu)。以及與循環(huán)群同態(tài)的群的性質(zhì)。4、熟練掌握變換的符號的運用和變換的乘法，能證明可以成群的變換只包含一一變換，

　　且單位元一定是恒等變換。了解變換群的定義和性質(zhì)。掌握任何一個群都同一個變換群同構(gòu)的定理的證明。掌握元素求逆等運算。

　　5、理解置換與置換群的定義與性質(zhì)，掌握每一個 n 元置換都可以寫成若干個互相沒有共同數(shù)字(不相連)的循環(huán)置換(輪換)的乘積的證明與運用。理解有限群與置換群的同構(gòu)關(guān)系。

　　6、掌握子群的定義，掌握群的子集成群的充分而且必要的條件與判定定理，并能掌握找出已知群的子群的一般方法，了解群與子群中的單位元與逆元的關(guān)系，以及子群與子群之間的關(guān)系。

　　7、掌握陪集的定義，以及與等價關(guān)系和分類之間的關(guān)系，了解子群與陪集之間的關(guān)系， 并能證明有限群的階能被元的階整除的定理，以及階為素數(shù)的群一定為循環(huán)群的證明。

　　8、 掌握不變子群(正規(guī)子群)的定義，能掌握一個群的子群是不變子群(正規(guī)子群)的充分必要條件的定理，理解商群的定義，能證明一個群同它的每一個商群同態(tài)的定理，了解核的定義，掌握兩個具有同態(tài)關(guān)系的群之間子群或不變子群(正規(guī)子群)的象的性質(zhì)。并能將子

　　群或不變子群(正規(guī)子群)的性質(zhì)運用到循環(huán)群、變換群等群之中。

　　9、掌握 sylow 定理的應(yīng)用。

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